数学问题思维逻辑训练

数学问题思维逻辑训练(如何从逻辑出发想问题)(1)

非数学思维vs数学思维

在讲什么是数学思维之前,先说说什么不是数学思维。

首先,听众人的意见不是数学思维,不是赞同的声音越大越正确。事实上很多人凑在一起,智商常常不是增加而是下降。这就是所谓的群体效应。

其次,听专家的意见不是数学思维。很多人在做判断时会相信专家。绝大多数时候这是一个好习惯,但专家也有漏判和误判的时候。2008—2009年的金融危机是历史上危害仅次于1929—1933年全球大萧条的经济危机,它让很多家庭倾家荡产,包括很多极为富有、受教育程度很高的人。在金融危机之后,英国女王问全世界的经济学家,这么大的危机、这么明显的问题,你们这么多人怎么没有一个人预测到呢?这让经济学家很没面子。

其实英国女王多少有点错怪经济学家这个群体了。整体来看,他们当时确实是过于乐观了,但也有一些经济学家之前确实做过很多预警。而那些被预警的问题,一旦引起注意后,大多会被防范,之后就不再是问题。因此,换一个角度讲,经济学家已经帮助我们避免了很多次经济危机。当然,经济学家也不是神,总会有误判的时候。当大部分人都出现误判时,真正的危机就来了。但是,在那次金融危机中,还是有一些人利用数学思维避开了风险,而且赚得盆满钵满。

最后,数学思维不是通过以往的经验或者多次试验得到结论。这种方法更像是自然科学的思维方式,而不是数学的。事实上,很多时候,通过大量试验所得到的结果依然可能是错误的。比如我们要比较10,000x和x2哪个大,如果从x=1开始试验,一直试到100,都是10,000x大。但是如果我们因此得出结论10, 000x>x2,那就错了。可能有人会问,为什么不直接试试x=20,000呢?因为人们能够想象到的例子常常受限于自身的认知。如果一个人平时接触的数通常都是个位数的,他就很难想到10,000、20,000这些大很多的数。

还是在2008—2009年的金融危机中,有一次摩根士丹利私人财富管理部门召集客户(都是非常有钱的人)开会分析当时的金融状况。主讲人说,根据历次经济危机时股市的表现,只要实体经济没有受到重创,股市通常会下跌1/4~1/3。一位参会者马上就说:“先生,你太乐观了,我们现在正在创造历史。”这位发言者的话很快被证实了,因为股市很快就跌了一半。这说明人的经验通常是有局限性的。

那么什么是数学思维?它是从不可能变的事实出发,利用逻辑找出矛盾,发现问题,然后再设法解决问题。什么是不变的事实呢?比如说宇宙中基本粒子的数量是有限的,任何经济增长都不可能是长期翻番的,这些就是不变的事实。具体到金融中,一个不变的事实就是,任何建立在空中楼阁之上的复利增长都难以持续,比如庞氏骗局。

数学思维的应用

在2008—2009年金融危机中,有不少人靠各种智慧避开了厄运,甚至大赚特赚了一笔。这其中就包括商业嗅觉敏锐的人和善于运用数学思维的人。

像巴菲特这样的人,他们能够避开厄运,靠的就是长期以来培养出的商业嗅觉。巴菲特讲,那些金融衍生品被包装到大家看不懂的地步,一定是为了掩盖很多真相,他坚决不参与那样的赌博。这与其说是投资的智慧,不如说是人生的智慧,这种智慧常常不可**。

另外还有一类人,则是靠数学思维赚了个盆满钵满。比如由数学家创立和运作的对冲基金公司文艺复兴科技公司,2008年获利80%,而同期的股市则被“腰斩”了。这些人出于对自身利益考虑,只是闷声发大财,不对外说,因此外面的人大多不知道。但其中一些人利用数学发现问题的故事还是广为人知的,比如迈克尔·伯里,他的故事被拍成了电影《大空头》。

伯里并不是职业投资人,而是一名数学很好的医生。他做判断的逻辑其实很简单,就是我们常常说的“建立在空中楼阁之上的复利增长”从数学上讲是无法长期为继的。听说过印度国际象棋故事的人都知道,如果翻番增长64次,一粒麦粒变出来的数量比全世界收获的麦粒都多,这个道理大家都懂。但是,如果换一种表述方式,绝大部分人就糊涂了。比如某个家族的财富每年增长7%,有没有可能持续几千年?很多人觉得有可能,因为每年7%似乎不是什么了不得的事情,而且美国的股市确实在上百年的时间里做到了这样的增长。但是,如果真的按照这样的增长速度持续两千多年,当年的陶朱公范蠡(中国古代有名的富豪)哪怕只给后代留下一个铜板,今天他的传人所拥有的铜钱的数量就要达到宇宙中原子的数量,这显然是做不到的事情。事实上,任何一种投资,在一开始基数较小的时候,很容易维持指数增长。但是,一旦基数变大,增长的速度就会慢下来,7%变成6%、5%、4%……如果还想不切实际地维持原来的增长率,那就是庞氏骗局了。

当庞氏骗局从翻番增长变为7%的增长时,很多人就已经看不出来了。当它再被漂亮地包装几次,就更不容易识别了。导致2008—2009年金融危机的,恰恰是一种包装得很漂亮的庞氏骗局,它的核心是一种叫作CDS(信用违约互换)的金融衍生品。

CDS的发明和克林顿担任美国总统时的一项政策有关,即为了让本来付不起首付的穷人也能买房子,允许银行在提供通常的房贷之外还提供购房首付款的贷款。比如弗洛伊德先生想买一栋100万美元的房子,通常他必须先支付20万美元的首付,才有资格从银行获得80万美元的贷款。如果他没钱支付首付款,就没有办法购房。但这项政策允许他从A银行获得正常的80万美元贷款的同时,还可以通过支付较高利息的方式从B银行获得针对20万美元首付的贷款。为了区分这两种贷款,前者我们也称之为初级贷款,后者自然就被称为次级贷款,简称次贷。

次级贷款相比初级贷款有两个特点:

第一,利率高。

第二,风险大。风险大主要体现在出了问题之后。必须等到提供初级贷款的银行拿回钱之后,才轮到提供次贷的银行拿钱。比如弗洛伊德先生断供了很长时间,银行被迫收回房子拍卖,A银行会先拿回自己的80万美元贷款。剩余的钱,才轮到B银行拿回。

如果房价一直上涨,这倒不是问题。比如100万美元的房子拍卖收回了110万美元,A银行和B银行都能收回全款。但是,如果房价下跌,只卖了85万美元,B银行就只能拿回5万美元的本金,亏了75%。所幸的是,次级贷款的利率高,如果100个贷款的人里只有两三个人的贷款收不回来,B银行也能从其他购房者偿还的利息中填补漏洞。

当然,B银行还有一个更稳妥的做法,就是从高利息(比如每年10%)中拿出一部分钱(比如1%),向保险公司C购买贷款者违约的保险。保险公司C根据历史数据发现,房屋贷款收不回来的情况很少,比如只占房贷的2%左右,而它从B银行可以挣多年的钱。由于房贷的期限通常在15年以上,不考虑复利因素,15年下来就是贷款总额的15%,担保10亿美元的房产就能收入1.5亿美元,成本只有2000万美元,这种利润率高达650%的事情保险公司自然就答应了。

接下来,投资银行D看到C公司做了这样一笔好买卖,非常眼红,就和C商量将这10亿美元房产的保险生意卖给自家,并愿意留下B公司20%的好处,即3000万美元。C公司想,1.5亿美元虽然多,但是要承担15年的保险义务,不如一次性得到3000万美元实在,就答应了。D公司是投资银行,更精明,将这笔担保的业务包装成证券,叫作CDS,加价3000万美元卖给了另一家投资银行E。E公司可能将各种类似的CDS又打了一个包,以新的证券形式上市了。就这样,在经过无数次包装后,CDS的内部结构大部分人已经看不懂了,但人们总觉得自己可以从下家身上赚到钱。于是一同把CDS炒到了50万亿美元这么大的规模,这已经超过了当时美国房市本身的总值,是当时美国GDP的3倍左右。

这个骗局的本质是什么呢?就是大家炒来炒去都在赌一件事,今后15~30年,房价会一直快速上涨,而且购房者有足够意愿不断供。然而,房价不可能永远快速上涨,特别是在经济本身涨幅很小的前提之下。于是为了维持房价快速上涨,就得有人愿意花更多的钱来买房,然后需要再有人花更多更多的钱来接盘,这就是庞氏骗局的翻版。而一旦有大量房主还不上钱,或者不愿意还钱,或者房价不再上涨,这些CDS就变得一钱不值。更糟糕的是,给购房者提供次级贷款的银行、后面的保险公司以及很多购买了CDS的投资银行也都完蛋了,整个金融系统垮了。

这件事不太容易通过一些经济指标分析出来,因为短期房价的上涨会给人经济繁荣的假象。但是,这种游戏里面的问题,却可以通过数学算出来。其实不只是伯里,当时有不少人在这个骗局破灭之前发现了问题,后来挣到了大笔的钱,这其中就包括2015年向哈佛大学捐出该校有史以来最大捐款额的约翰·保尔森。这些人正是因为拥有数学思维,清楚地知道增长不可能持续,看到了繁荣后面的危机,然后做空。不过在所有挣钱的人中,伯里的利润率实在是太高,而且他还好心地去和每个人讲,于是他被公认为最具数学头脑、看穿骗局的第一人。

通过这个例子,我们来说说数学思维相比其他思维方式的不同。数学思维依据的不是大家的看法,不是专家的意见,也不是历史的经验,而是永远不会变的事实,以及并不复杂的逻辑推理。很多人觉得搞清楚金融或其他领域的问题需要很多领域知识,这种看法当然是对的,但比领域知识更重要的是数学思维。一个人不可能成为所有领域的专家,但有了数学思维,你至少会有基本的判断能力。即便不知道具体**是什么,你也很容易判断什么肯定是错的。

简单地讲,具有数学思维就是会算账,但不是指算小账算得清楚,那经常是捡了芝麻丢了西瓜。我们说的算账,是要善用数学知识和逻辑,对一个长期的趋势做出正确的判断,预见到我们必须做的事情,以及不能做的事情。

我们对“算笔账”这3个字并不陌生。每一个人、每一个机构,都应该仔细算账。算账不是在自由市场上讨价还价,不是抠一两个点的利润,而是用好数学这个工具来发现问题,给出可行的建议。

在次贷的例子中,伯里等人利用数学发现了不能做什么。这其实用到了逻辑学中的矛盾律。什么是矛盾律?它是说一个事物不能既有A属性,又没有A属性。一方面房贷的总值不能超过房市的价值,这是常识;但另一方面,房贷的一部分——其衍生品CDS的盘子却比整个房市的价值大,这就违反了矛盾律。

学习数学最有价值的地方,是接受一种逻辑训练,形成理性思维的习惯,在生活中善于找出矛盾、发现问题,然后用逻辑的方法找到**并采取行动。今天认知升级是一个时髦的词,它其实不过是掌握了数学的思维方式,并对其加以灵活应用。

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